Resolución de Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal tiene la forma general:
$$ ax + b = 0 $$
donde $a$ y $b$ son constantes y $a \neq 0$.
Pasos para resolver:
- Agrupar términos con la incógnita a un lado de la igualdad.
- Agrupar términos constantes al otro lado.
- Simplificar ambos lados.
- Despejar la incógnita dividiendo ambos lados por el coeficiente de la incógnita.
Ejemplo:
$$ 2x + 5 = 13 $$
$$ 2x = 8 $$
$$ x = 4 $$
Problemas con Ecuaciones Lineales en Contexto
Las ecuaciones lineales pueden modelar muchas situaciones reales, como por ejemplo:
- Problemas de edad
- Cálculo de tarifas (telefónica, eléctrica, etc)
- Problemas de movimiento uniforme
Ejemplo: Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad que tenga su hijo. ¿Cuáles son sus edades actuales?
Sea $x$ la edad actual del hijo:
$$ 3x + 12 = 2(x + 12) $$
$$ 3x + 12 = 2x + 24 $$
$$ x = 12 $$
El hijo tiene 12 años y el padre 36.
Resolución de Inecuaciones Lineales
Una inecuación lineal tiene la forma general:
$$ ax + b < 0 \quad \text{o} \quad ax + b > 0 \quad \text{o} \quad ax + b \leq 0 \quad \text{o} \quad ax + b \geq 0 $$
Pasos para resolver:
- Agrupar términos como en las ecuaciones.
- Al multiplicar o dividir por un número negativo, invertir el sentido de la desigualdad.
- Representar la solución en la recta numérica o en intervalo.
Ejemplo:
$$ 2x - 6 < 10 $$
$$ 2x < 16 $$
$$ x < 8 $$
Solución: $(-\infty, 8)$
Problemas con Inecuaciones Lineales en Contexto
Las inecuaciones lineales modelan situaciones con límites o restricciones:
- Problemas de producción
- Problemas de costos y ganancias
- Problemas de optimización simple
Ejemplo: Una fábrica produce $x$ unidades diarias. El costo de producción es $100x + 500$ y el ingreso es $150x$. ¿Cuántas unidades deben producirse para obtener ganancias?
Planteamos la inecuación:
$$ 150x > 100x + 500 $$
$$ 50x > 500 $$
$$ x > 10 $$
Deben producirse más de 10 unidades para obtener ganancias.