Resumen de Logaritmos y sus Propiedades

Preuniversitario Los Álamos
17 de Agosto, 2025

Definición de Logaritmo

El logaritmo de un número positivo $x$ en base $b$ es el exponente al cual se debe elevar $b$ para obtener $x$. Se denota como:

$$ \log_b(x) = y \iff b^y = x $$

donde $b > 0$, $b \neq 1$, y $x > 0$.

Propiedades de los Logaritmos

1. Producto: $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$

2. Cociente: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$

3. Potencia: $\log_b(x^n) = n \log_b(x)$

4. Cambio de base: $\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$

5. Logaritmo de 1: $\log_b(1) = 0$, para cualquier base $b$

6. Logaritmo de la base: $\log_b(b) = 1$

7. Función inversa: $b^{\log_b(x)} = x$

8. Logaritmo de una raíz: $\log_b\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{1}{n}\log_b(x)$

Logaritmos Naturales y Decimales

• Logaritmo natural: $\ln(x) = \log_e(x)$, donde $e \approx 2.71828$ (número de Euler)
• Logaritmo decimal: $\log(x) = \log_{10}(x)$

Ecuaciones Logarítmicas

Para resolver ecuaciones logarítmicas, se pueden usar las propiedades anteriores y la función exponencial como inversa del logaritmo.

Ejemplo:

$$ \log(x) + \log(20) = 3 $$ $$ \log(20x) = 3 $$ $$ 20x = 10^3 $$ $$ 20x = 1000 $$ $$ x = \frac{1000}{20} $$ $$ x = 50 $$