Productos Notables

Los productos notables son expresiones algebraicas que siguen patrones específicos y pueden calcularse de manera rápida sin necesidad de multiplicar término por término.

Cuadrado de un Binomio

$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

$$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

Producto de la Suma por la Diferencia

$$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $$

Cubo de un Binomio

$$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

$$ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$

Factorización de Expresiones Algebraicas

La factorización es el proceso inverso a la multiplicación de polinomios. Consiste en expresar un polinomio como el producto de dos o más factores.

Factor Común

Extraer el máximo factor común de todos los términos:

$$ ax + ay = a(x + y) $$

Diferencia de Cuadrados

$$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $$

Trinomio Cuadrado Perfecto

$$ x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2 $$

Diferencia de Cubos

$$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $$

Suma de Cubos

$$ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $$

Trinomio de la Forma (x^2 + bx + c)

$$ x^2 + bx + c = (x + p)(x + q) \text{ donde } p + q = b \text{ y } pq = c $$

Operatoria con Expresiones Algebraicas

Suma y Resta

Se suman o restan los términos semejantes:

$$ (3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 3x + 4) = 4x^2 - x + 3 $$

Multiplicación

Se multiplican todos los términos entre sí y se combinan los semejantes:

$$ (x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 $$

División

Se puede realizar por el método de división larga o utilizando fracciones algebraicas:

$$ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 $$

Problemas con Expresiones Algebraicas en Contexto

Las expresiones algebraicas se utilizan para modelar y resolver problemas en diversos contextos.

Ejemplo: Problema de Geometría

El área de un rectángulo está dada por (A = l \cdot w), donde (l) es la longitud y (w) es el ancho. Si el ancho es 3 unidades menos que la longitud, exprese el área en términos de (l):

$$ A = l(l - 3) = l^2 - 3l $$

Ejemplo: Problema de Movimiento

Un coche viaja a una velocidad constante de (v) km/h durante (t) horas. La distancia recorrida está dada por (d = vt). Si el coche aumenta su velocidad en 10 km/h, ¿cuál será la nueva distancia recorrida en el mismo tiempo?

$$ d_{nueva} = (v + 10)t = vt + 10t = d + 10t $$