Resumen Teorema de Pitágoras y Cálculo de Perímetros y Áreas

Resumen Teorema de Pitágoras y Cálculo de Perímetros y Áreas

14 de septiembre de 2024

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

donde ( c ) es la hipotenusa y ( a ), ( b ) son los catetos.

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

El teorema se utiliza para calcular la longitud de un lado desconocido en un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos.

Ejemplo:

Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm.

$$ \begin{align*} c^2 &= 3^2 + 4^2 \ c^2 &= 9 + 16 \ c^2 &= 25 \ c &= \sqrt{25} \ c &= 5 \text{ cm} \end{align*} $$


Perímetros y Áreas de Figuras Geométricas

Triángulos

Perímetro: Suma de las longitudes de sus tres lados.

$$ P = a + b + c $$

Área:

$$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$

donde ( b ) es la base y ( h ) es la altura.


Paralelogramos

Perímetro:

$$ P = 2(a + b) $$

donde ( a ) y ( b ) son las longitudes de los lados.

Área:

$$ A = b \cdot h $$

donde ( b ) es la base y ( h ) es la altura.


Trapecios

Perímetro: Suma de las longitudes de sus cuatro lados.

$$ P = a + b + c + d $$

Área:

$$ A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} $$

donde ( B ) y ( b ) son las bases mayor y menor, y ( h ) es la altura.


Círculos

Perímetro (Circunferencia):

$$ C = 2\pi r $$

donde ( r ) es el radio.

Área:

$$ A = \pi r^2 $$


Segmentos y Sectores Circulares

Sector Circular (Área):

$$ A = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 $$

donde ( \theta ) es el ángulo central en grados.

Longitud de Arco:

$$ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r $$


Problemas Aplicados

Ejemplo 1: Aplicación del Teorema de Pitágoras

Una escalera se apoya en una pared a una altura de 6 m y su base está a 8 m de la pared. ¿Cuál es la longitud de la escalera?

$$ \begin{align*} c^2 &= a^2 + b^2 \ c^2 &= 6^2 + 8^2 \ c^2 &= 36 + 64 \ c^2 &= 100 \ c &= \sqrt{100} \ c &= 10 \text{ m} \end{align*} $$

La escalera mide 10 m de longitud.


Ejemplo 2: Área de un Trapecio

Calcular el área de un trapecio cuya base mayor mide 12 cm, la base menor 8 cm y la altura 5 cm.

$$ \begin{align*} A &= \frac{(B + b) \cdot h}{2} \ A &= \frac{(12 + 8) \cdot 5}{2} \ A &= \frac{20 \cdot 5}{2} \ A &= \frac{100}{2} \ A &= 50 \text{ cm}^2 \end{align*} $$


Ejemplo 3: Longitud de Arco de un Sector Circular

Calcular la longitud del arco de un sector circular de radio 7 cm y ángulo central de (90^\circ).

$$ \begin{align*} L &= \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r \ L &= \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 7 \ L &= \frac{1}{4} \cdot 14\pi \ L &= \frac{14\pi}{4} \ L &= \frac{7\pi}{2} \text{ cm} \end{align*} $$


Ejemplo 4: Perímetro de un Paralelogramo

Calcular el perímetro de un paralelogramo con lados de 5 cm y 9 cm.

$$ \begin{align*} P &= 2(a + b) \ P &= 2(5 + 9) \ P &= 2(14) \ P &= 28 \text{ cm} \end{align*} $$


Ejemplo 5: Área de un Triángulo

Un triángulo tiene una base de 10 m y una altura de 6 m. Calcular su área.

$$ \begin{align*} A &= \frac{b \cdot h}{2} \ A &= \frac{10 \cdot 6}{2} \ A &= \frac{60}{2} \ A &= 30 \text{ m}^2 \end{align*} $$


Ejemplo 6: Aplicación Combinada

Un jardín tiene forma de semicírculo con un diámetro de 20 m. Calcular el área del jardín.

$$ \begin{align*} r &= \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ m} \ A_{\text{círculo}} &= \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi \text{ m}^2 \ A_{\text{semicírculo}} &= \frac{A_{\text{círculo}}}{2} = \frac{100\pi}{2} = 50\pi \text{ m}^2 \end{align*} $$

El área del jardín es (50\pi) m².