Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
$$ c^2 = a^2 + b^2 $$
donde ( c ) es la hipotenusa y ( a ), ( b ) son los catetos.
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
El teorema se utiliza para calcular la longitud de un lado desconocido en un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos.
Ejemplo:
Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm.
$$ \begin{align*} c^2 &= 3^2 + 4^2 \ c^2 &= 9 + 16 \ c^2 &= 25 \ c &= \sqrt{25} \ c &= 5 \text{ cm} \end{align*} $$
Perímetros y Áreas de Figuras Geométricas
Triángulos
Perímetro: Suma de las longitudes de sus tres lados.
$$ P = a + b + c $$
Área:
$$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$
donde ( b ) es la base y ( h ) es la altura.
Paralelogramos
Perímetro:
$$ P = 2(a + b) $$
donde ( a ) y ( b ) son las longitudes de los lados.
Área:
$$ A = b \cdot h $$
donde ( b ) es la base y ( h ) es la altura.
Trapecios
Perímetro: Suma de las longitudes de sus cuatro lados.
$$ P = a + b + c + d $$
Área:
$$ A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} $$
donde ( B ) y ( b ) son las bases mayor y menor, y ( h ) es la altura.
Círculos
Perímetro (Circunferencia):
$$ C = 2\pi r $$
donde ( r ) es el radio.
Área:
$$ A = \pi r^2 $$
Segmentos y Sectores Circulares
Sector Circular (Área):
$$ A = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 $$
donde ( \theta ) es el ángulo central en grados.
Longitud de Arco:
$$ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r $$
Problemas Aplicados
Ejemplo 1: Aplicación del Teorema de Pitágoras
Una escalera se apoya en una pared a una altura de 6 m y su base está a 8 m de la pared. ¿Cuál es la longitud de la escalera?
$$ \begin{align*} c^2 &= a^2 + b^2 \ c^2 &= 6^2 + 8^2 \ c^2 &= 36 + 64 \ c^2 &= 100 \ c &= \sqrt{100} \ c &= 10 \text{ m} \end{align*} $$
La escalera mide 10 m de longitud.
Ejemplo 2: Área de un Trapecio
Calcular el área de un trapecio cuya base mayor mide 12 cm, la base menor 8 cm y la altura 5 cm.
$$ \begin{align*} A &= \frac{(B + b) \cdot h}{2} \ A &= \frac{(12 + 8) \cdot 5}{2} \ A &= \frac{20 \cdot 5}{2} \ A &= \frac{100}{2} \ A &= 50 \text{ cm}^2 \end{align*} $$
Ejemplo 3: Longitud de Arco de un Sector Circular
Calcular la longitud del arco de un sector circular de radio 7 cm y ángulo central de (90^\circ).
$$ \begin{align*} L &= \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r \ L &= \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 7 \ L &= \frac{1}{4} \cdot 14\pi \ L &= \frac{14\pi}{4} \ L &= \frac{7\pi}{2} \text{ cm} \end{align*} $$
Ejemplo 4: Perímetro de un Paralelogramo
Calcular el perímetro de un paralelogramo con lados de 5 cm y 9 cm.
$$ \begin{align*} P &= 2(a + b) \ P &= 2(5 + 9) \ P &= 2(14) \ P &= 28 \text{ cm} \end{align*} $$
Ejemplo 5: Área de un Triángulo
Un triángulo tiene una base de 10 m y una altura de 6 m. Calcular su área.
$$ \begin{align*} A &= \frac{b \cdot h}{2} \ A &= \frac{10 \cdot 6}{2} \ A &= \frac{60}{2} \ A &= 30 \text{ m}^2 \end{align*} $$
Ejemplo 6: Aplicación Combinada
Un jardín tiene forma de semicírculo con un diámetro de 20 m. Calcular el área del jardín.
$$ \begin{align*} r &= \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ m} \ A_{\text{círculo}} &= \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi \text{ m}^2 \ A_{\text{semicírculo}} &= \frac{A_{\text{círculo}}}{2} = \frac{100\pi}{2} = 50\pi \text{ m}^2 \end{align*} $$
El área del jardín es (50\pi) m².