Sistemas de Ecuaciones Lineales (2x2)
Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 tiene la forma general:
$$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$
donde $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ son constantes y $x, y$ son las incógnitas.
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2:
Método de Sustitución
- Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
- Sustituir la expresión en la otra ecuación.
- Resolver la ecuación resultante.
- Sustituir el valor encontrado para hallar la otra incógnita.
Método de Igualación
- Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
- Igualar las expresiones resultantes.
- Resolver la ecuación obtenida.
- Sustituir el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales.
Método de Reducción
- Multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes para que una incógnita tenga coeficientes opuestos.
- Sumar las ecuaciones para eliminar una incógnita.
- Resolver la ecuación resultante.
- Sustituir el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales.
Ejemplo: Resolver el sistema:
$$2x + y = 5$$ $$x - y = 1$$
Por el método de reducción:
$$(2x + y = 5) \cdot 1 \rightarrow 2x + y = 5$$ $$(x - y = 1) \cdot -2 \rightarrow -2x + 2y = -2$$ $$\text{Sumando: } 3y = 3$$ $$y = 1$$ $$\text{Sustituyendo en } 2x + y = 5 \rightarrow 2x + 1 = 5$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$
Solución: $(x, y) = (2, 1)$
Problemas que Involucren Sistemas de Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden modelar diversas situaciones reales:
- Problemas de mezclas
- Problemas de movimiento
- Problemas de oferta y demanda
- Problemas de inversión
Ejemplo: Una granja tiene pollos y conejos. En total hay 50 cabezas y 160 patas. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?
Sea $x$ el número de pollos y $y$ el número de conejos:
$$x + y = 50 \text{ (total de cabezas)}$$ $$2x + 4y = 160 \text{ (total de patas)}$$
Resolviendo:
$$(x + y = 50) \cdot -2 \rightarrow -2x - 2y = -100$$ $$(2x + 4y = 160) \cdot 1 \rightarrow 2x + 4y = 160$$
Sumando ambas ecuaciones:
$$2y = 60$$ $$y = 30$$
Sustituyendo en $x + y = 50$:
$$x + 30 = 50$$ $$x = 20$$
Hay 20 pollos y 30 conejos.
Interpretación Gráfica
Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 puede interpretarse gráficamente. Existen tres casos posibles:
Caso 1: Una única solución
Las rectas se intersectan en un punto. Este punto representa la solución única del sistema.
Ejemplo:
$$y = 2x - 2$$ $$y = -x + 4$$
La solución es el punto (2,2), donde las rectas se intersectan.
Caso 2: Ninguna solución
Las rectas son paralelas y no se intersectan.
Ejemplo:
$$y = 2x + 1$$ $$y = 2x + 3$$
Las rectas son paralelas y no se intersectan, por lo que el sistema no tiene solución.
Caso 3: Infinitas soluciones
Las rectas coinciden, lo que significa que representan la misma ecuación.
Ejemplo:
$$y = 2x + 1$$ $$2y = 4x + 2$$
Ambas ecuaciones representan la misma recta, por lo que hay infinitas soluciones.