Sistemas de Ecuaciones Lineales (2x2)

Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 tiene la forma general:

$$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$

donde $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ son constantes y $x, y$ son las incógnitas.

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2:

Método de Sustitución

1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituir la expresión en la otra ecuación.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Sustituir el valor encontrado para hallar la otra incógnita.

Método de Igualación

1. Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Igualar las expresiones resultantes.
3. Resolver la ecuación obtenida.
4. Sustituir el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales.

Método de Reducción

1. Multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes para que una incógnita tenga coeficientes opuestos.
2. Sumar las ecuaciones para eliminar una incógnita.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Sustituir el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo: Resolver el sistema:

$$2x + y = 5$$ $$x - y = 1$$

Por el método de reducción:

$$(2x + y = 5) \cdot 1 \rightarrow 2x + y = 5$$ $$(x - y = 1) \cdot -2 \rightarrow -2x + 2y = -2$$ $$\text{Sumando: } 3y = 3$$ $$y = 1$$ $$\text{Sustituyendo en } 2x + y = 5 \rightarrow 2x + 1 = 5$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$

Solución: $(x, y) = (2, 1)$

Problemas que Involucren Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden modelar diversas situaciones reales:

• Problemas de mezclas
• Problemas de movimiento
• Problemas de oferta y demanda
• Problemas de inversión

Ejemplo: Una granja tiene pollos y conejos. En total hay 50 cabezas y 160 patas. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?

Sea $x$ el número de pollos y $y$ el número de conejos:

$$x + y = 50 \text{ (total de cabezas)}$$ $$2x + 4y = 160 \text{ (total de patas)}$$

Resolviendo:

$$(x + y = 50) \cdot -2 \rightarrow -2x - 2y = -100$$ $$(2x + 4y = 160) \cdot 1 \rightarrow 2x + 4y = 160$$

Sumando ambas ecuaciones:

$$2y = 60$$ $$y = 30$$

Sustituyendo en $x + y = 50$:

$$x + 30 = 50$$ $$x = 20$$

Hay 20 pollos y 30 conejos.

Interpretación Gráfica

Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 puede interpretarse gráficamente. Existen tres casos posibles:

Caso 1: Una única solución

Las rectas se intersectan en un punto. Este punto representa la solución única del sistema.

Ejemplo:

$$y = 2x - 2$$ $$y = -x + 4$$

La solución es el punto (2,2), donde las rectas se intersectan.

Caso 2: Ninguna solución

Las rectas son paralelas y no se intersectan.

Ejemplo:

$$y = 2x + 1$$ $$y = 2x + 3$$

Las rectas son paralelas y no se intersectan, por lo que el sistema no tiene solución.

Caso 3: Infinitas soluciones

Las rectas coinciden, lo que significa que representan la misma ecuación.

Ejemplo:

$$y = 2x + 1$$ $$2y = 4x + 2$$

Ambas ecuaciones representan la misma recta, por lo que hay infinitas soluciones.