Media Aritmética

La media aritmética ($\overline{x}$) es el promedio de un conjunto de datos, calculado sumando todos los valores y dividiendo entre el número total de observaciones.

Para $n$ datos $x_1, x_2, \dots, x_n$:

$$ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$

Ejemplo:

Calcule la media de las edades: 18, 20, 22, 24, 26.

Solución:

$$ \overline{x} = \frac{18 + 20 + 22 + 24 + 26}{5} = \frac{110}{5} = 22 $$

Mediana

La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenados. Si el número de observaciones es impar, es el valor medio; si es par, es el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo:

Encuentre la mediana de las puntuaciones: 85, 90, 75, 80, 95.

Solución:

Ordenamos los datos: 75, 80, 85, 90, 95.

La mediana es el valor central:

$$ \text{Mediana} = 85 $$

Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:

Determine la moda en el conjunto: 2, 4, 4, 6, 8, 4, 10.

Solución:

El número que más se repite es 4.

$$ \text{Moda} = 4 $$

Rango

El rango es una medida de dispersión que indica la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos.

$$ \text{Rango} = \text{Valor máximo} - \text{Valor mínimo} $$

Ejemplo:

Calcule el rango de las temperaturas: 15°C, 18°C, 22°C, 25°C, 30°C.

Solución:

$$ \text{Rango} = 30 - 15 = 15^\circ\text{C} $$

Problemas que Involucran Medidas de Tendencia Central y Rango

Ejemplo 1: Notas de Examen

Las notas de 12 estudiantes son: 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 7, 8, 9, 10.

Preguntas:

1. Calcule la media, mediana y moda.
2. Determine el rango de las notas.

Solución:

1. Media: $$ \overline{x} = \frac{7 + 8 + 9 + 10 + 6 + 7 + 8 + 9 + 7 + 8 + 9 + 10}{12} = \frac{98}{12} \approx 8.17 $$ Mediana: Ordenamos los datos: 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10. Como $n = 12$ (par), la mediana es el promedio del 6º y 7º valor: $$ \text{Mediana} = \frac{8 + 8}{2} = 8 $$ Moda: Los valores que más se repiten son 7, 8 y 9 (cada uno aparece 3 veces). $$ \text{Moda} = 7,\ 8,\ 9 $$
2. Rango: $$ \text{Rango} = 10 - 6 = 4 $$

Ejemplo 2: Alturas en un Equipo

Las alturas (en cm) de los jugadores de un equipo son: 170, 175, 180, 185, 190.

Preguntas:

1. Calcule la media y mediana.
2. ¿La media y la mediana son iguales en este caso?
3. Determine el rango.

Solución:

1. Media: $$ \overline{x} = \frac{170 + 175 + 180 + 185 + 190}{5} = \frac{900}{5} = 180 $$ Mediana: Como $n = 5$ (impar), la mediana es el valor central: $$ \text{Mediana} = 180 $$
2. Sí, en este caso la media y la mediana son iguales.
3. Rango: $$ \text{Rango} = 190 - 170 = 20\ \text{cm} $$

Ejemplo 3: Ventas Semanales

Una tienda registra las siguientes ventas en miles de pesos durante una semana: 15, 18, 22, 25, 30, 35, 100.

Preguntas:

1. Calcule la media y mediana.
2. Analice el efecto de un valor atípico en las medidas de tendencia central.
3. Determine el rango.

Solución:

1. Media: $$ \overline{x} = \frac{15 + 18 + 22 + 25 + 30 + 35 + 100}{7} = \frac{245}{7} = 35 $$ Mediana: Ordenamos los datos: 15, 18, 22, 25, 30, 35, 100. La mediana es el 4º valor: $$ \text{Mediana} = 25 $$
2. El valor atípico (100) incrementa significativamente la media, pero la mediana sigue siendo más representativa de la mayoría de los datos.
3. Rango: $$ \text{Rango} = 100 - 15 = 85\ \text{miles de pesos} $$

Ejemplo 4: Comparación de Grupos

Dos clases tienen las siguientes puntuaciones en un examen:

1. Clase A: 80, 82, 85, 87, 90
2. Clase B: 70, 75, 80, 85, 130

Preguntas:

1. Calcule la media de cada clase.
2. Determine cuál clase tiene mayor dispersión en sus puntuaciones.

Solución:

1. Media de Clase A: $$ \overline{x}_A = \frac{80 + 82 + 85 + 87 + 90}{5} = \frac{424}{5} = 84.8 $$ Media de Clase B: $$ \overline{x}_B = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 130}{5} = \frac{440}{5} = 88 $$
2. Rango de Clase A: $$ \text{Rango}_A = 90 - 80 = 10 $$ Rango de Clase B: $$ \text{Rango}_B = 130 - 70 = 60 $$ La Clase B tiene mayor dispersión debido al valor atípico (130).

Conclusión

Las medidas de tendencia central y el rango son esenciales para describir y analizar conjuntos de datos. Mientras que la media, mediana y moda indican dónde se concentra la información, el rango muestra la variabilidad o dispersión de los datos. Es importante considerar posibles valores atípicos que puedan influir en estas medidas, especialmente en la media.