Puntos y Vectores en el Plano Cartesiano

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas bidimensional que permite representar puntos y vectores mediante pares ordenados $(x, y)$. Los vectores se pueden describir por su magnitud y dirección, y se pueden sumar y multiplicar por escalares.

Puntos

Un punto en el plano cartesiano se representa como $(x, y)$, donde $x$ es la coordenada en el eje horizontal (abscisas) y $y$ es la coordenada en el eje vertical (ordenadas).

Vectores

Un vector en el plano se representa como $\vec{v} = \langle v_x, v_y \rangle$, donde $v_x$ y $v_y$ son las componentes en las direcciones $x$ e $y$, respectivamente.

Operaciones con vectores:

• Suma de vectores: $\vec{u} + \vec{v} = \langle u_x + v_x,, u_y + v_y \rangle$
• Producto por escalar: $k\vec{v} = \langle k v_x,, k v_y \rangle$

Transformaciones Isométricas

Las transformaciones isométricas son movimientos en el plano que preservan las distancias y ángulos entre puntos. Las principales transformaciones isométricas son:

• Traslación
• Rotación
• Reflexión (Simetría)

Traslación

Una traslación mueve cada punto de una figura una misma distancia en una misma dirección.

Expresión matemática:

Si un punto $P(x, y)$ se traslada según el vector $\vec{v} = \langle a, b \rangle$, el nuevo punto $P’(x’, y’)$ es:

$$ \begin{cases} x’ = x + a \ y’ = y + b \end{cases} $$

Ejemplo:

Trasladar el punto $A(2, 3)$ según el vector $\vec{v} = \langle -1, 4 \rangle$.

$$ \begin{aligned} x’ &= 2 + (-1) = 1 \ y’ &= 3 + 4 = 7 \end{aligned} $$

El punto trasladado es $A’(1, 7)$.

Rotación

Una rotación gira una figura alrededor de un punto fijo (centro de rotación) un ángulo determinado.

Rotación alrededor del origen:

Para rotar un punto $P(x, y)$ un ángulo $\theta$ alrededor del origen:

$$ \begin{cases} x’ = x\cos\theta - y\sin\theta \ y’ = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases} $$

Ejemplo:

Rotar el punto $B(1, 0)$ $90^\circ$ alrededor del origen.

Como $\cos90^\circ = 0$ y $\sin90^\circ = 1$:

$$ \begin{aligned} x’ &= 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0 \ y’ &= 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \end{aligned} $$

El punto rotado es $B’(0, 1)$.

Reflexión

Una reflexión es una transformación que produce una imagen especular de una figura respecto a una recta (eje de simetría).

Reflexión respecto al eje $x$:

$$ \begin{cases} x’ = x \ y’ = -y \end{cases} $$

Reflexión respecto al eje $y$:

$$ \begin{cases} x’ = -x \ y’ = y \end{cases} $$

Reflexión respecto a la recta $y = x$:

$$ \begin{cases} x’ = y \ y’ = x \end{cases} $$

Ejemplo:

Reflejar el punto $C(5, -2)$ respecto al eje $x$.

$$ \begin{aligned} x’ &= 5 \ y’ &= -(-2) = 2 \end{aligned} $$

El punto reflejado es $C’(5, 2)$.

Problemas Aplicados

Ejemplo 1: Combinación de Transformaciones

Aplicar una rotación de $180^\circ$ seguida de una traslación según el vector $\vec{v} = \langle 3, -1 \rangle$ al punto $D(-2, 4)$.

Paso 1: Rotación de $180^\circ$

Como $\cos180^\circ = -1$ y $\sin180^\circ = 0$:

$$ \begin{aligned} x’’ &= -2 \cdot (-1) - 4 \cdot 0 = 2 \ y’’ &= -2 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4 \end{aligned} $$

Paso 2: Traslación

$$ \begin{aligned} x’ &= 2 + 3 = 5 \ y’ &= -4 + (-1) = -5 \end{aligned} $$

El punto resultante es $D’(5, -5)$.

Ejemplo 2: Reflexión y Rotación

Reflejar el punto $E(3, 2)$ respecto al eje $y$ y luego rotarlo $90^\circ$ alrededor del origen.

Paso 1: Reflexión respecto al eje $y$

$$ \begin{aligned} x’’ &= -3 \ y’’ &= 2 \end{aligned} $$

Paso 2: Rotación de $90^\circ$

$$ \begin{aligned} x’ &= -3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2 \ y’ &= -3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -3 \end{aligned} $$

El punto resultante es $E’(-2, -3)$.

Ejemplo 3: Aplicación en Contexto

Una figura geométrica tiene vértices en $F(1, 1)$, $G(4, 1)$ y $H(1, 5)$. Si la figura se traslada según el vector $\vec{v} = \langle 2, -3 \rangle$, ¿cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices?

Solución:

Trasladamos cada punto:

Para $F(1, 1)$:

$$ \begin{aligned} x’_F &= 1 + 2 = 3 \ y’_F &= 1 + (-3) = -2 \end{aligned} $$

Para $G(4, 1)$:

$$ \begin{aligned} x’_G &= 4 + 2 = 6 \ y’_G &= 1 + (-3) = -2 \end{aligned} $$

Para $H(1, 5)$:

$$ \begin{aligned} x’_H &= 1 + 2 = 3 \ y’_H &= 5 + (-3) = 2 \end{aligned} $$

Las nuevas coordenadas son $F’(3, -2)$, $G’(6, -2)$ y $H’(3, 2)$.

Ejemplo 4: Rotación de una Figura Compleja

Rotar el triángulo con vértices en $I(0, 0)$, $J(2, 0)$ y $K(1, \sqrt{3})$ $60^\circ$ alrededor del origen.

Solución:

Para $\theta = 60^\circ$, $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$ y $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rotamos cada punto:

Para $I(0, 0)$:

$$ \begin{aligned} x’_I &= 0 \ y’_I &= 0 \end{aligned} $$

Para $J(2, 0)$:

$$ \begin{aligned} x’_J &= 2 \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \ y’_J &= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \end{aligned} $$

Para $K(1, \sqrt{3})$:

$$ \begin{aligned} x’_K &= 1 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1 \ y’_K &= 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{aligned} $$

Las nuevas coordenadas son $I’(0, 0)$, $J’(1, \sqrt{3})$ y $K’(-1, \sqrt{3})$.